12-ДӘРІС. САЛЫСТЫРМАЛЫЛЫҚТЫҢ АРНАЙЫ ТЕОРИЯСЫ.

1. Эйнштейн постулаттары
2. Лоренц түрлендірулері
3. Лоренц түрлендірулерінің салдары
4. Релятивистік импульс. Релятивистік динамиканың негізгі теңдеуі
5. Энергия мен массаның байланысы

12.1 Эйнштейн постулаттары

XIX ғасырдың екінші жартысында Максвелл электромагнетизм теориясын дамыта отырып, жарықтың — электромагниттік толқын екенін көрсетті. Максвеллдің теңдеулері жарықтың жылдамдығы шамамен екенін болжады. Бұл болжау тәжірибелік жолмен өлшенген мәнмен дәл келді. Бірақ қандай инерциялық санақ жүйесінде (ИСЖ) жарық жылдамдығы шамамен болады? А.Майкельсон мен Э. Морлидің тәжірибелері жарық жылдамдығының санақ жүйесін таңдауға тәуелсіз екенін көрсетті. Ньютон механикасы мен Максвелл электродинамикасы арасындағы қайшылықтар А.Эйнштейнді салыстырмалылық теориясын (1905 ж.) жасауға итермеледі.

Салыстырмалылықтың жеке салдарларын Эйнштейнге дейін голланд физигі Г.А.Лоренц, ағылшын Д.Фицджеральд алған болатын. Салыстырмалылық теориясының дамуына А.Пуанкаре, Г.Минковский, Дж.Лармор және басқа да ғалымдар зор үлес қосты. Эйнштейннің басты еңбегі – осы құбылыстардың түп негізін тауып, оларды постулаттар түрінде тұжырымдап, солардың негізінде жаңа салдарлар шығара білуінде.

Эйнштейн жарық жылдамдығы вакуумда барлық бақылаушылар үшін бірдей болуы үшін және барлық физикалық заңдар барлық инерциялық санақ жүйелерінде бірдей формада орындалуы үшін, кеңістік пен уақытты бір-бірінен тәуелсіз классикалық түсініктерден өзгертті.

Ол үшін кеңістік пен уақытты біртұтас кеңістіктік-уақыттық континуум, яғни төртөлшемді кеңістік-уақыт ретінде қарастыру қажет болды.

Уақыт кеңістікке тәуелді болуы керек және әртүрлі санақ жүйелерінде әртүрлі жүріп отырады.

Арнайы салыстырмалылық теориясының басты қағидалары ретінде Эйнштейн екі постулатты (принципті) алды, олар тұтастай тəжірибелік деректерге (оның ішінде бірінше кезекте Майкельсонның тəжірибесі) сүйенген:

1. Салыстырмалылық принципі: Табиғаттағы кез келген физикалық құбылыс барлық инерциялық жүйеде бірдей өтеді.
2. Жарық жылдамдығының инварианттылық принципі: Вакуумдағы жарық жылдамдығы жарық көзінің немесе бақылаушының қозғалыс жылдамдығына тәуелді емес. Ол барлық инерциялы жүйелерде бірдей болады.

12.2 Лоренц түрлендірулері.

А.Эйнштейннің өзі тұжырымдаған постулаттар негізінде инерциалдық санақ жүйелеріндегі құбылыстарға жүргізген талдаулары Галилейдің класикалық түрлендірулері оларға сәйкес емес екендігін көрсетті. Осыдан салыстырмалылық теориясының постулаттарын қанағаттандыратын түрлендірумен алмастыру қажеттігі шығады.

12.1-сурет.

Қорытындыны иллюстрациялау үшін екі инерциалды санақ жүйесін қарастырамыз: жүйесі мен -ға қатысты жылдамдықпен қозғалатын жүйесін (12.1-сурет). Уақыттың санақ басы ретiнде екі жүйе үшін де олардың координаттарының О жəне О' бастары бipдей түceтiн кездi аламыз (). Эйнштейннің екінші постулаты бойынша жарық жылдамдығы екі санақ жүйесінде де бірдей болады. Сондықтанда жүйесінде сигнал қандай да бір А нүктесіне (сурет) дейін уақыт ішінде қашықтықты жүріп өтсе, онда жүйеде қашықтықты жүріп өтеді, мұндағы – жарық импульсінің жүйеде координата басынан А нүктесіне дейінгі жүріп өтуіне кеткен уақыт. Жарық импульсінің және жүйелердегі жүріп өткен қашықтықтарынының айырымы мынаған тең

.

Бұл жерде ( жүйесі жүйесіне қатысты қозғалыста болады), онда

,

яғни, және жүйелерінде уақыт санағы түрліше болады, яғни уақыт санағы салыстырмалы сипаттқа ие.

Эйнштейн салыстырмалылық теориясында Галилейдің түрлендірулері Лоренц түрлендірулерімен алмастырылады.

Максвелл теңдеулері инвариантты ол түрлендірулерді Лоренц 1904 жылы салыстырмалылық шыққанға дейін ұсынған.

Лоренц түрлендірулері келесі түрде болады:

12.3 Лоренц түрлендірулерінің салдары

Бірмезеттіктің салыстырмалылығы

жүйеде қайсыбiр жəне екі oқиғалар өтіп жатсын. өсі бойымен жылдамдықпен қозғалып келе жатқан жүйеде осы oқиғалардың арасындағы yaқыт интервалын табайық.

Осыдан жүйеде бірмезеттік болып табылатын оқиғaлар жүйеде бірмезеттік болмайтындығы ( анықталды.

Бipмезеттік – салыстырмалы түсiнiк бiр жүйеде бірмезеттік болып табылатын оқиғалар, жалпы алғанда, басқа санақ жүйесiнде бірмезеттік болмайды.

Лоренцтiк қысқару

санақ жүйесiнде тыныштықтағы шыбықты өсінің бойына, яғни осы санақ жүйенің К жүйеге қатысты қозғалысы бағытында орналастырамыз. жүйеде шыбықтың ұзындығы болсын (меншiктi ұзыңдық). жүйеде қозғалыста болатын шыбықтың ұзындығы оның бip ғана уақыт мезетiнде () алынған ұштарының жəне координаттарының арасындағы l қашықтық ретiнде анықталады. Лоренц түрлендiруiн пайдаланып, x' жəне x координаттары үшін:

Сонымен, қозғaлыстағы шыбықтың ұзындығы оның меншiктi ұзындығынан кiшi болып шығады жəне əртүрлі инерциалдың санақ жүйелерінде оның өз мəнi болады.

Процестердің ұзақтығы

жүйесінің координаты нүктесінде қайсыбiр процесс өтiп жатсын, осы жүйедегi оның ұзақтылығы (процестің меншiктi уақыты).

Осы процестің ұзақтылығын жүйеде анықтайық; жүйе oғaн қатысты қозғалыста. Осы мақсатпен уақыт үшін Лоренц түрлендiруін пайдаланамыз.

Бiр ғанa процестің ұзақтылығы əртүрлi инерциялық санақ жүйелерінде түрлi болады. К жүйеде ол ұзағырақ , демек, бұл жүйеде жүйеге қарағанда процесс баяуырақ өтедi.

Интервал

СТ кеңістіктік пен уақыттық аралықтарының салыстырмалылығын келтіре отырып, жалпы абсолюттiк шамалардың барлығын жоққа шығармайды.

СТ–ның алдына қойған негiзгi мəселесi, инерциялық санақ жүйелеріне тəуелсiз болатын шамаларды (заңдарды) табу.

Осындай шамалардың бiріне өзара əрекеттесулердің таралуының вакуумдегi жарық жылдамдығына тең болатын универсал жылдамдық жатады. 1-ші жəне 2-ші оқиғалардың арасындағы екіншi аса маңызды инварианттық шама интервал болып табылады, жəне оның квадраты келесі өрнекпен анықталады:

мұндағы, – оқиғалар арасындағы уақыт аралығы, осы екі оқиға өтiп жатқан нүктелердің арақашықтығы ().

Интервалдың түрлерi

Кеңістікті-уақыттық интервалда қандай құраушы басым рөл атқаратын болса, кеңістiктiк пе, əлде уақытық па, соған байланысты интервалдар келесі түрге бөлінеді:

1. кеңістік тəрізді интервал ()
2. уақыт тəрізді интервал (

Интервалдардың осы екі түрімен қатар оның үшіншi түрі де бар:

1. жарық тəрізді интервал:

Егер екі оқиғаның арасындағы интервал кеңістiк тəрізді болса, онда екі оқиғада бiр мезгiлде өте алатын санақ жүйесін табуға болады:

Егер интервал уақыт тəрізді болса, онда екі оқиға да бiр нүктеде өте алатын санақ жүйесін табуға болады:

Keңістік тəрізді интервалдар кезіңде , яғни ешбiр санақ жүйесіңде оқиғалар бiр-бiріне ешқандай əсер ете алмайды.

Уақыт тəрізді немесе жарық тəрізді интервалдар үшін жағдай басқаша. Уақыт тəрізді немесе жарық тəрізді интервалдар мен бөлінген оқиғалар бiр-бiрiмен себеп-салдарлы байланыста бола алады.

Жылдамдықты түрлендiру

жүйеде , жазықтығында бөлшектер проекциялары жəне болатын жылдамдықпен қозғалсын.

Лоренц түрлендiрулерінің көмeгiмeн осы жылдамдықтың жылдамдықпен қозғалатын жүйесіндегi жəне проекцияларын табайық.

, пен үшін -уақыт бойынша дифференциалдап, алынған нəтижелерді жəне формуларына қойып, түрлендірулер жасағаннан кейін келесі өрнекті аламыз:

Бұл формулалар жылдамдықтың релятuвuстiк түрлену заңын бередi.

12.4 Релятивистік импульс. Релятивистік динамиканың негізгі теңдеуі

Релятивистік импульс

Импульс туралы классикалық механикадан екі негізгі қағиданы келтірейік:

1. Бөлшектің импульсі мынаған тең: , мұндағы m бөлшектің массасы өзінің жылдамдығына тəуелсіз деп саналады;
2. Тұйықталған бөлшектер жүйесінің импульсі кез келген инерциялық санақ жүйелерінде уақыт бойынша сақталады.

Релятивті бөлшектерден құралған тұйықталған жүйе үшін ньютондық импульс сақталу заңы орындалмайды. Осыдан альтернатива туады: не Ньютонның импульске берген анықтамасынан бас тарту немесе осы шаманың сақталу заңына бағынатындығы. Импульстің сақталу заңы кез келген инерциялық санақ жүйелерінде орындалады деген талап пен бір инерциялық санақ жүйесінен басқа инерциялық жүйеге өткенде жылдамдықтың релятивистік түрленуін ескеру бөлшектердің массасының өзінің жылдамдығына тəуелділігі шығады.

m шамасын релятивистік масса деп атайды.

Енді ең соңғы адым жасайық: релятивистік бөлшектің импульсі үшін оның теңдеуін жазайық.

Міне, осы теңдеу бөлшектің релятивистік импульсі болып табылады.

Релятивистік динамиканың негізгі теңдеуі

Эйншетйннің салыстырмалалық принципi бойынша табиғаттың барлық зандары инерциялық санақ жүйелеріне қатысты инвариантты болуы тиiс. Бiрақ Ньютон динамикасының негізгі теңдеуі Эйнштейннің салыстырмалылық принципін қанағаттандырмайтын болып шықты, себебі Лоренц түрлендiрулерi бiр инерциалды санақ жүйесінен екіншiсіне өткен кезде оған басқа түр бердi.

Салыстырмалылық принципін қанағаттандырy үшін динамиканың негізгі тeңдеуінің түрі басқа болу керек, тек кезіңде ғанa ол ньютондық теңдеуге өтyi тиiсті.

Бұл теңдеудің түpi Ньютон динамикасының негiзгi теңдеуімен бiрдей болады. Бiрақ мұның физикалық мағынасы басқа:

Осы теңдеу релятивистiк динамиканың негiзiгi теңдеуі болып табылады.

12.5 Энергия мен массаның байланысы

Кинетикалық энергияны классикалық механикадағы тəрiздi əдіспен, яғни өсімшесi бөлшекке əсер ететін күштің жұмысына тең болатын шама ретіңде анықтаймыз.

күштің əcepiнен элементар орын ауыстыратын бөлшектің кинетикалық энергиясының dT өсімшесі:

дифференциалдасақ

екенін ескерсек

Интегралдасақ

В – интегралдау тұрақтысы.

В интегралдау тұрақтысын анықтайық. Қозғалмайтын денемен салыстырғанда қозғалыстағы дененің артық кинетикалық энергиясын табу үшін u = 0 болғанда, T = 0 деп есептеп, төмендегі формуланы аламыз:

Осыны ескерсек

Эйнштейннің салыстырмалылық теориясының маңызды нәтижелерінің бірі дененің энергиясы мен массаның арасындағы универсалды қатынас болып табылады:

Жүйенің толық энергиясы оның толық релятивисті массасын вакуумдегі жарық жылдамдығының квадратына көбейткенге тең.

Толық энергияның релятивистік бөлшектің импульсімен байланысы

Кинетикалық энергияның релятивистік бөлшектің импульсімен байланысы