2-ДӘРІС. МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕНІҢ КИНЕМАТИКАСЫ.

Санақ жүйесі, қозғалыс заңдылығы, траектория, жол, орын ауыстыру.
Жылдамдық векторы.
Үдеу және оның құраушылары
Қозғалыстың түрлері. Бірқалыпты және бірқалыпты айнымалы түзу сызықты қозғалыстар
Айналмалы қозғалыстың кинематикасы. Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу векторлары.
Сызықтық және бұрыштық кинематикалық шамалар арасындағы байланыс

2.1 Санақ жүйесі, қозғалыс заңдылығы, траектория, жол, орын ауыстыру.

Қозғалыс кеңістікте уақыт бойынша өтеді. Материалдық нүктенің қозғалысын сипаттау үшін оның кеңістіктің қай нүктесінде қандай уақыт мезетінде болғанын білу керек. Қарастырылып отырған материялық нүктенің орны алдын-ала таңдап алынған санақ денесі деп аталатын қандай да бір басқа денеге қатысты анықталады (басқа дене жоқ бос кеңістікте мұны жасау мүмкін емес). Алдын ала таңдап алнған дене қозғалыста болуы әбден мүмкін. Ондай жағдайда ол шартты түрде қозғалмайды деп есептеледі де, ал онымен байланысып тұрған координаталар жүйесі және уақыт өлшеуіш құрал материялық нүктенің орнын анықтайтын санақ жүйесі деп аталады. Материалдық нүктенің кеңістіктегі орны (декарттық координаталар жүйесінде) үш тәуелсіз координаттармен (х_M, у_M ,z_M) немесе санақ басынан берілген нүктеге дейін жүргізілген радиус-векторымен анықталады. (2.1-суретті қара).

2.1-сурет.

Координата жүйесінде нүктенің орнын көрсететін радиус-вектор:

Радиус-вектордың модулі:

Материялық нүктенің қозғалысы кезінде оның координаталары уақыт бойынша келесі түрде өзгереді:

Ал оның радиус-векторы уақыт бойынша былай өзгереді:

Бұл (2.3) және (2.4) теңдеулер қозғалыстың кинематикалық теңдеуі деп аталады.

Нүктенің кеңістіктегі орнын толық анықтайтын тәуелсіз координаталар саны еркіндік дәрежесінің саны деп аталады. Егер материялық нүкте кеңістікте еркін қозғалатын болса, онда оның еркіндік дәрежесінің саны үшке тең, өйткені оның орны үш координатамен х, у, z анықталады. Ал егер қандай да бір жазықтықта қозғалса, онда екі еркіндік дәрежесіне, түзу сызық бойымен қозғалса бір еркіндік дәрежесіне ие бола алады. Қозғалыс теңдеулеріндегі t уақытты алып тастасақ, онда материялық нүкте қозғалысының траекториясының теңдеуін аламыз.

Траектория – деп материялық нүктенің кеңістіктегі басып өткен нүктелерін қосатын сызықты айтады, яғни жүріп өткен ізін көрсететін үздіксіз сызықты. Траекторияның түріне қарай қозғалысты түзу сызықты және қисық сызықты деп бөледі.

Жол және орын ауыстыру

Материялық нүктенің траектория бойымен қозғалысын қарастырайық. Уақытты санауды нүкте А орнында тұрған мезеттен бастайық. Материялық нүктенің уақытты санау басталған мезеттен жүріп өткен АВ траекториясының бөлігінің ұзындығы жол деп аталады (2.2-сурет). Ол скаляр шама.

2.2-сурет.

векторы қозғалыстағы материалдық нүктенің бастапқы орынан берілген уақыт мезетіндегі орнына сызылған бағыталған кесінді- орын ауыстыру деп аталады.

2.2 Жылдамдық векторы.

Материялық нүкте қозғалысын сипаттау үшін, қозғалыстың шапшаңдығын және бағытын сипаттайтын физикалық векторлық шама қозғалыс жылдамдығы енгізіледі.

Материялық нүкте қандай да бір қисық сызықты траектория бойымен қозғалыс жасасын және t уақыт мезетіне радиус векторы сәйкес келсін. Материалдық нүкте уақыт аралығында жол жүреді және орын ауыстырады (2.2-сурет).

Қозғалыстағы материалдық нүктенің орын ауыстыру векторының уақыт аралығына қатынасы орташа жылдамдық деп аталады:

2.3-сурет.

Орташа жылдамдық бағыты бағытымен бағыттас болады (2.3-сурет).

Егер орташа жылдамдықты табу теңдеуінде уақыт аралығы шегіне ұмтылса, онда лездік жылдамдықтың өрнегін аламыз:

Лездік жылдамдық – векторлық шама, ол қозғалыстағы материалдық нүктенің радиус векторының уақыт бойынша бірінші туындысына тең.

Лездік жылдамдық-материалдық нүктенің траекторияның берілген нүктесіндегі жылдамдығы (берілген уақыт мезетіндегі).

жылдамдық векторының бағыты траекторияға жанама бойымен қозғалыс бағытына қарай бағытталады (2.3-сурет).

уақыт азайған сайын жол | | - ға жақындай түседі. Сондықтан

Осыдан лездік жылдамдықтың сан мәні жолдың уақыт бойынша бірінші туындысына тең:

Егер қозғалыс бірқалыпсыз болса, онда лездік жылдамдықтың сандық мәні уақыт өтуімен өзгеретіндіктен, берілген бөліктегі бірқалыпсыз қозғалыс үшін скалярлық шама жол бойынша орташа жылдамдық қолданылады

болғандықтан, сурет бойынша және тек қана түзу сызықты қозғалыс кезінде

Егер t-тан уақытқа дейінгі аралықта теңдеуін интегралдайтын болсақ, онда уақыт аралығында жүрілген жол ұзындығын табамыз:

Егер бірқалыпты қозғалыста лездік жылдамдықтың сан мәні тұрақты болса, онда жол формуласы мына түрге келеді

немесе жай ғана , себебі , тек бастапқы уақыт нөлге сәйкес келсе .

Нүктенің және уақыт аралығында жүрілген жолы мына интегралмен анықталады

2.3 Үдеу және оның құраушылары.

Бірқалыпсыз қозғалыс кезінде, жылдамдықтың уақыт өтуіне байланысты өзгеру шапшаңдығын білу өте маңызды. Жылдамдықтың бағыты мен модулі бойынша өзгеру шапшаңдығын сипаттайтын физикалық шама үдеу деп аталады.

Бірқалыпсыз қозғалыс кезіндегі нүктенің t–дан уақыт аралығындағы орташа үдеуі деп, жылдамдық өзгерісінің уақыт аралығына қатынасына тең векторлық шаманы айтады:

Материялық нүктенің t уақыт мезетіндегі лездік үдеуі орташа үдеудің шегі болып табылады:

Осыдан үдеу дегеніміз жылдамдықтың уақыт бойынша бірінші туындысына тең векторлық шама.

2.4-сурет.

векторын екі құраушыға жіктеуге болады (2.4-сурет). – құраушы уақыт аралығындағы жылдамдықтың модулі бойынша өзгерісін сипаттайды: . Ал екінші құраушысы векторы уақыт аралығындағы жылдамдықтың бағыты бойынша өзгерісін сипаттайды. Осыларға байланысты үдеуді екі құраушыға жіктеуге болады.

Үдеудің бірінші құраушысы тангенциал үдеу-жылдамдықтың модулінен уақыт бойынша алынған туындыға тең, жылдамдықтың модулі бойынша өзгеру шапшаңдығын сипаттайтын шама:

Үдеудің екінші құраушысы нормаль үдеу- жылдамдықтың бағыты бойынша өзгеру шапшаңдығын сипаттайтын шама:

Үдеудің тангенциал құраушысы траекторияға жанама бойымен бағытталады, ал нормаль құраушысы траекторияға нормаль бойынша оның қисығының центріне қарай бағытталады (сондықтан оны центрге тартқыш деп те атайды). Дененің толық үдеуі тангенциал және нормаль құраушыларының геометриялық қосындысына тең (2.5-суретті қара):

1-1-5

2.5-сурет.

2.5-суреттен көрініп тұрғандай толық үдеудің модулі:

2.4 Қозғалыстың түрлері. Бірқалыпты және бірқалыпты айнымалы түзу сызықты қозғалыстар

Үдеудің тангенциал және нормаль құраушыларын ескере отырып, қозғалысты келесі түрлерге классификациялауға болады:

1) - түзу сызықты бірқалыпты қозғалыс;

2) - түзу сызықты бірқалыпты айнымалы қозғалыс. Мұндай қозғалыс кезінде:

Егер бастапқы уақыт мезеті , ал бастапқы жылдамдық болса, онда және деп белгілеп, аламыз, осыдан

Осы формуланы нөлден қандай да бір уақыт мезеті шектерінде интегралдап, бірқалыпты айнымалы қозғалыс жағдайындағы жүрілген жол формуласын аламыз:

3), – түзу сызықты айнымалы үдемелі қозғалыс;

4), болғанда жылдамдық модулі бойынша өзгермейді, керісінше бағыты бойынша өзгереді. формуласынан қисықтық радиусы тұрақты болуы керек екенін көреміз. Осыдан жылдамдығы модулі бойынша тұрақты шеңбер бойымен қозғалысты көреміз;

5), - модулі бойынша жылдамдығы тұрақты қисық сызықты қозғалыс;

6)- қозғалыс жылдамдығы модулі бойынша қисық сызықты бірқалыпты айнымалы қозғалыс;

7) – қисық сызықты айнымалы үдемелі қозғалыс

1) мен байланысты қозғалыстың түрлерін көрсетіңдер

		Қозғалыс түрлері
0	0
const	0
f(t)	0
0	const
const	≠0
f(t)	≠0

2)Бірқалыпты түзу сызықты қозғалысты графиктік түрде сипаттаңдар.

Теңдеулер	Графиктер

3)Бірқалыптыайнымалы түзу сызықты қозғалысты графиктік түрде сипаттаңдар.

Теңдеулер	Графиктер

4) Суретте жылдамдықтың уақытқа тәуелділік графигі берілген. Суретке қарап қозғалысты сипаттап беріңіз. s(t), a(t) графиктерін салыңдар.

2.6-сурет.

2.5 Айналмалы қозғалыстың кинематикасы. Бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеу векторлары.

Шеңбер бойымен қозғалыстағы нүктенің кез келген t уақыт мезетіндегі орны бұрышпен және оның өзгеру заңымен беріледі. Нүкте радиусы тең шеңбер бойымен қозғалады делік. Оның біраз уақыт өткеннен кейінгі орнын бұрышымен белгілейміз. Элементар (шексіз аз) бұрылуды векторлар сияқты қарастыруға болады (олар немесе ). вектордың модулі бұрылу бұрышына тең, ал бағыты айналу бағытымен бұралған бұрғының ұшының қозғалысымен сәйкес келеді, яғни оң бұрғы ережесіне бағынады (2.7-сурет).

Орташа бұрыштық жылдамдық деп элементар бұрылудың уақыт аралығына қатынасына тең шама аталады.

Лездік бұрыштық жылдамдық деп дененің бұрылу бұрышының уақыт бойынша бірінші туындысына тең шама аталады.

2.7-сурет.

Бұрыштық жылдамдық векторының бағыты бұрғы ережесімен анықталады: бұрыштық жылдамдық векторының бағыты бұрғы басын нүктенің шеңбер бойымен қозғалысының бағыты бойынша айналдырған кездегі бұрғы ұшының ілгерлемелі қозғалысының бағытына сәйкес келеді (2.8-сурет).

2.8-сурет.

Бұрыштық үдеу-бұрыштық жылдамдықтың өзгеру шапшаңдығын сипаттайтын шама.

Орташа бұрыштық үдеу деп бұрыштық жылдамдықтың өзгерісінің уақыт аралығына қатынасына тең шама аталады.

Лездік бұрыштық үдеу деп дененің бұрыштық жылдамдығының уақыт бойынша бірінші туындысына тең шама аталады.

Лездік бұрыштық үдеуді келесі түрде жазуға болады:

Бұрыштық үдеудің бағыты бұрыштық жылдамдықтың өзгерісіне байланысты болады (сурет). Егер қозғалыс үдемелі болса, онда векторы векторына параллель, ал кемімелі болса – антипараллель.

2.9-сурет.

Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс. Егер болса, онда айналу бірқалыпты және оны мына шамамен сипаттауға болады.

– айналу периоды деп нүктенің шеңбер бойымен толық бір айналым жасауға кеткен уақыт аралығын айтады, яғни ол бұрышына бұрылады.

Уақыт аралығы болғандықтан оған сәйкес келеді, яғни . Бұдан .

Бірлік уақыт ішінде, дененің шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысы кезінде жасаған толық айналым саны айналу жиілігі деп аталады:

бұдан

Шеңбер бойымен бірқалыпты айнымалы қозғалыс. Шеңбер бойымен бірқалыпты айнымалы қозғалған жағдайда ()

мұндағы – бастапқы бұрыштық жылдамдық.

2.6 Сызықтық және бұрыштық кинематикалық шамалар арасындағы байланыс

Нүктенің сызықтық жылдамдық пен бұрыштық жылдамдықтың арасындағы байланысты анықтайық.

яғни

Мұндағы – жүрілген жол. Шексіз аз уақытта жүрілген жол мен орын ауыстыруды тең деп алуға болады (2.10-сурет).

2.10-сурет.

Векторлық түрде сызықтық жылдамдық векторы мен бұрыштық жылдамдық векторының байланысын келесі түрде жазамыз:

Үдеудің тангенциал құраушысы , және

Векторлық түрде:

Үдеудің нормаль құраушысы

Толық үдеу келесі түрде болады:

Дене үдемелі айналған кездегі а) бұрыштық жылдамдықтың; б) бұрыштық үдеудің бағытын көрсетіңіз:

2.11-сурет.

Дене кемімелі айналған кездегі а) бұрыштық жылдамдықтың; б) бұрыштық үдеудің бағытын көрсетіңіз:

2.12-сурет.

Диск көлденең бет бойымен жылдамдықпен бірқалыпты сырғанамай дөңгелеп бара жатыр. Дискінің жиегінде жатқан А нүктесінің жылдамдық векторының бағытын көрсетіңіз:

2.13-сурет.

Ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстың сипаттамаларының арасындағы ұқсастық көрсетілген кестені толтырыңыздар.

*Физикалық шамалар*	*Ілгерілемелі қозғалыс*	*Айналмалы қозғалыс*	*Сипаттамалардың арасындағы байланыс*
*Орын ауыстыру*
*Жылдамдық*
*Үдеу*
*Бірқалыпты қозғалыс*
*Бірқалыпты айымалы қозғалыс*

$C:\Users\Acer\Downloads\5327021-removebg-preview.png$

Екі нысанның орны әр 0,2 секунд сайын нөмірленген шаршылармен белгіленген. Нысандар оңға қарай қозғалып барады. Бұл нысандардың үдеулерін салыстырыңыз.

Изображение выглядит как линия, белый

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.14-сурет.

Бөлменің екі шетінен екі ойыншық көлік тұрақты жылдамдықпен бір-біріне қарай қозғалады. График олардың арасындағы қашықтықтың уақытқа тәуелділігін көрсетеді. Бірінші көліктің жылдамдығы 3,14 м/с. Екінші көлік қандай жылдамдықпен қозғалады? (Жауабыңызды м/с арқылы беріңіз)

Изображение выглядит как линия, диаграмма, График

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.15-сурет.

Суретте осі бойынша түзу сызықты қозғалыс кезінде дене координаталарының уақытқа тәуелділігінің графигі көрсетілген. Келесі шамаларды табыңыз:
дененің тыныштықта болған уақыт аралығын;
дененің өсімен бағыттас қозғалған уақыт аралығын;
дененің өсіне қарама-қарсы қозғалған уақыт аралығын;
дененің жылдамдығының 5 c-ден 8 c аралығындағы проекциясының шамасын.

2.16-сурет.

Суретте төрт автокөлік жылдамдығының уақытқа тәуелділігінің графиктері көрсетілген. Алғашқы 15 с ішінде төмендегі автокөліктердің жүрген жолын табыңыз:
бірқалыпты қозғалған дененің жүрген жолын;
бірқалыпты үдемелі қозғалған дененің жүрген жолын;
бірқалыпты кемімелі қозғалған дененің жүрген жолын;

Изображение выглядит как линия, диаграмма, График, оригами

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.17-сурет.

Суреттегі жылдамдығы проекциясының t уақытқа тәуелділік графигі бойынша -тен дейінгі уақыт аралығындағы дененің орын ауыстыру модулін анықтаңыз.

2.18-сурет.

Төмендегі суреттерді көбелектің кеңістіктегі қозғалысы көрсетілген. Суретте уақыттан бастап , және осьтеріндегі көбелектің жылдамдығының , және проекцияларының уақытқа тәуелділік графиктерінен көбелектің уақытындағы жылдамдығының мәні неге тең?

Изображение выглядит как линия, диаграмма, оригами

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.19-сурет.

Төмендегі суретке қарап қозғалысты сипаттап беріңіз. графиктерін салыңдар.

Изображение выглядит как линия, диаграмма

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.20-сурет.

Төмендегі суретке қарап қозғалысты сипаттап беріңіз. υ(t), a(t) графиктерін салыңдар.

Изображение выглядит как диаграмма, зарисовка, рисунок, линия

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.21-сурет.

Төмендегі суретке қарап қозғалысты сипаттап беріңіз. графиктерін салыңдар

Изображение выглядит как диаграмма, зарисовка, линия, Технический чертеж

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.22-сурет.

Төмендегі суретке қарап қозғалысты сипаттап беріңіз. графиктерін салыңдар

Изображение выглядит как зарисовка, рисунок, линия, диаграмма

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.23-сурет.

Төмендегі суретке қарап қозғалысты сипаттап беріңіз. графиктерін салыңдар

Изображение выглядит как диаграмма, линия

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.24-сурет.

Төмендегі суретке қарап қозғалысты сипаттап беріңіз. графиктерін салыңдар

2.25-сурет.

Өлшемдері бірдей екі металл шардың біреуі екіншісінен екі есе ауыр. Екі шар бір мезетте бір қабатты үйдің төбесінен құлады. Шарлардың жерге құлауына уақытын салыстырыңдар.
Екі дене бірдей Н биіктіктен біреуі еркін құлайды, ал екіншісі жылдамдықпен көкжиек бойымен бағытталып лақтырылған. Екі дененің құлау уақытын салыстырыңыз, себебін түсіндіріңіз. (ауаның кедергісін ескермеуге болады)
Дененің жылдамдығы нөлге тең болып, бірақ үдеуі нөлге тең болмауы мүмкін бе?
Бала жіпке байланған болат шарды суретте көрсетілгендей горизонталь жазықтық бойымен айналдырады. Кенет Р нүктесінде жіп шарға бекітілген нүктесінен үзіледі. Егер бақылаушы суреттегідей жоғарыдан қарап тұрса, жіп үзілгеннен кейін шардың ұшуы қай бағытта жалғасады?

Изображение выглядит как зарисовка, рисунок, круг, белый

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.26-сурет.

Дененің жылдамдығы тұрақты болып, бірақ үдеуі нөлге тең болмауы мүмкін бе?
Көкжиекке бұрыш жасай лақтырылған дененің 1,2 және 3-нүктелеріндегі тангенсиал, нормаль және толық үдеудің бағытын сызып көрсетіңіз.

Изображение выглядит как зарисовка, линия, вешалка, искусство

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.27-сурет.

Суретте көрсетілгендей жартас төбесінен зеңбіректен оқ атылды. Атылған оқтың жолын жуықтап қай бағытқа сәйкес келеді?

2.28-сурет.

Дене шеңбер бойымен қозғалады. Оның үдеуінің бағытын көрсетіп суретін салу:
шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалады;
шеңбер бойымен бірқалыпты үдемелі қозғалады;
Төмендегі суреттегі екі жағдайдағы бұрыштық үдеудің бағытын анықтаңыз

Изображение выглядит как круг, зарисовка, диаграмма, рисунок

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.29-сурет.

Диск көлденең бет бойымен жылдамдықпен бірқалыпты сырғанамай дөңгелеп бара жатыр. Дискінің жиегінде жатқан А нүктесінің жылдамдық векторының бағытын көрсетіңіз:

Изображение выглядит как зарисовка, рисунок, круг, искусство

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.30-сурет.

Нүктелік денесі радиусы шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалады. Суретте айналу бұрышының уақытқа тәуелділігінің графигі көрсетілген. уақыт интервалындағы дененің сызықтық жылдамдығының мәнін табыңыз.

Изображение выглядит как линия, текст, диаграмма, График

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.31-сурет.

Екі айналмалы білік біліктерге қатысты сырғып кетпейтін жабық, созылмайтын таспамен біріктірілген. Бірінші біліктің радиусы , ал екінші біліктің радиусы . А нүктесіндегі бұрыштық жылдамдықтың бірінші біліктің бұрыштық жылдамдығына қатынасы 0,25-ке тең. Бірінші білік радиусының екіншісінің радиусына қатынасын табыңыз.

Изображение выглядит как круг, линия, зарисовка, диаграмма

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.32-сурет.

Екі доп бір уақытта және бірдей жылдамдықпен қозғала бастады (суретті қараңыз). Қай доп В нүктесіне тезірек жетеді? Үйкеліс елемеуге болады.

Изображение выглядит как диаграмма, круг, дизайн

Содержимое, созданное искусственным интеллектом, может быть неверным.

2.33-сурет.