10-ДӘРІС. ТЕРБЕЛІСТЕР

1. Гармониялық тербелістер және олардың сипаттамалары.
2. Серіппелі, математикалық, физикалық маятниктер.
3. Гармоникалық тербелістерді қосу
4. Өшетін тербелістер. Логарифмдік декремент. Автотербелістер.
5. Еріксіз тербелістер. Резонанс.
6. Тербелістердің техникадағы рөлі.

10.1 Гармониялық тербелістер және олардың сипаттамалары.

Тербеліс деп белгілі уақыт аралығында дәлме-дәл немесе жуықтап қайталанып отыратын қозғалыстарды айтады.

Тербеліс кезінде өзгеретін физикалық шамалардың мәні бірдей уақыт өткенде қайталанып отыратын болса, ондай тербелісті периодты деп атайды. Еркін тербелістер деп жүйе тепе-теңдік қалпынан шығарылғаннан кейін ішкі күштер әсерінен болатын тербелістерді айтады.

Гармоникалық тербеліс деп тербелістегі шаманың уақыт бойынша өзгеретісі синус (не косинус) заңымен өтетін тербелісті айтады.

Гармоникалық тербелістегі шаманы сипаттатйтын теңдеу:

Мұндағы x - материалдық нүктенің тепе-теңдік күйден ауытқуы-ығысу деп, ал А - ең үлкен ығысу амплитуда деп аталады (10.1-сурет).

10.1-сурет.

Нүктенің толық бір тербелісіне кеткен уақыт аралығы тербеліс периоды (, с) деп аталады: , мұндағы — уақыт, — толық тербелістер саны. Уақыт бірлігі ішінде жасалатын толық тербелістер санын тербеліс жиілігі (ν, 1 Гц =1 с^-1) деп айтады,

Ал 2π секунд ішінде жасалатын тербелістер санын циклдік (дөңгелектік) жиілік (ω, Гц) деп атайды,

Әрбір уақыт мезетінде тербелістегі нүктенің координаты фазамен (φ, рад, град) сипатталады:

Мұндағы ϕ₀— бастапқы фаза, яғни t=0 уақыт мезетіндегі фазаның мәні.

Гармоникалық тербелістегі нүктенің жылдамдығы:

– жылдамдық тербелісінің амплитудасы

Гармониялық тербелістегі нүктенің үдеуі:

– тербеліс үдеуінің амплитудасы

(10.5) пен (10.1) өрнектерді түрлендіруден еркін гармоникалық тербелістердің диференциалдық теңдеуі шығады:

Бұл (10.7) диференциалдық теңдеудің шешімі (10.1) өрнек болып табылады.

Массасы тербеліп тұрған материялық нүктеге әсер етуші күшті (10.1) мен (10.2) өрнектерді ескеріп жазамыз:

Сонымен, материялық нүктеге әсер етуші күш ығысуға пропорционал және ығысуға қарама-қарсы бағытталған (тепе-теңдік күйге қарай).

Механикалық гармоникалық тербелістің энергиясы. Механикалық гармоникалық тербелістегі m массалы нүктенің кинетикалық және потенциалдық энергиясы:

Гармоникалық тербелістегі нүктенің толық энергиясы:

Энергияның сақталу заңына сәйкес гармоникалық тербелістегі материалдық нүктенің толық энергиясы өзгермейді, кинетикалық энергия потенциалдық энергияға және керісінше түрленіп тұрады, яғни:

10.2-сурет.

10.2 Маятниктер.

Серіппелі маятник

Серіппелі маятник ретінде абсолют серпімді серіппеге ілінген, серпімділік күші әсерінен гармониялық тербеліс жасайтын массасы m жүкті алуға болады.

10.3-сурет

Суретте массасы m жүк салмақсыз серіппеге ілінген, оның қаттылығы және ол вертикаль тербеліс жасайды. осіндегі бастапқы O нүктесін тепе-теңдік қалпына келтіреміз. Мұндағы , – осы қалыптағы серіппенің ығысуы. Сонда динамиканың негізгі заңына сай немесе:

.

Мұндағы екендігін ескерсек

болады.

Серіппелі маятниктің периоды мен жиілігі:

Математикалық маятник

10.3-сурет.

Математикалық маятник созылмайтын салмақсыз, ұзындығы жіпке ілінген, ауырлық күші әсерінен үйкелісіз тербеліс жасайтын материялық нүктеден тұратын идеалданған жүйені айтады. Математикалық маятниктің еркін тербелістерінің диференциалдық теңдеуін табамыз. Ол үшін математикалақ маятниктің өте кіші бұрышқа ауытқуын қарастырамыз. Ауытқу бұрышы α -ның кіші мәндерінде деп аламыз. Суреттен көрініп тұрғандай кері қайтарушы күші мынаған тең болады:

Ньютонның екінші заңына сәйкес математикалық маятниктің қозғалыс теңдеуін келесі түрде жазамыз:

Бұл теңдеуден математикалық маятник тербелісінің диференциалдық теңдеуі

мұнда деп алсақ,

Дифференциялдық теңдеудің шешімі:

Тербеліс периоды мен жиілігі:

Физикалық маятник

10.4-сурет.

Физикалық маятник деп дененің массалар центрі арқылы өтпейтін оське бекітілген, ауырлық күші әсерінен іліну осі айналасында тербеліс жасап тұрған қатты денені айтады.

Егер маятник тепе-теңдік қалпынан қандай-да бір кіші бұрышқа ауытқыса, онда кері қайтарушы күш моменті

Мұндағы – кері қайтарушы күш.

Кіші бұрыштар үшін . Сондықтан

Қатты дененің айналмалы қозғалысының негізгі теңдеуі бойынша күш моменті:

(10.17) мен (10.18) теңдулерді теңсетіріп, түрлендірулерден кейін физикалық маятниктің тербелісінің диференциалдық теңдеуін аламыз:

немесе

мұнда деп алсақ,

Циклдік жиілік

Тербеліс периоды

Мұндағы – келтірілген ұзындық. Физикалық маятниктің келтірілген ұзындығы деп – периоды физикалық маятниктің периодына тең математикалық маятниктің ұзындығын айтады.

10.3 Гармоникалық тербелістерді қосу

Бір бағыттағы жиіліктері бірдей гармониялық тербелістерді қосу

Тербелістегі дене бір уақытта бірнеше тербелмелі процестерге қатысуы мүмкін. Мұндай жағдайларда қорытқы тербелісті табу керек, басқаша айтқанда тербелістерді қосу қажет.

Бір бағыттағы жиіліктері бірдей гармониялық тербелістердің қосылуын қарастырайық.

Гармониялық тербелістер графикалық айналатын амплитуда векторы әдісімен немесе векторлық диаграмма әдісін қолданып, осы тербелістердің векторлық диаграммаларын саламыз. (10.6-сурет).

және векторлары бірдей бұрыштық жылдамдықпен айналатындықтан, олардың арасындағы фазалар айырымы өзгермейді. Қорытқы тербеліс теңдеуі мынадай

10.6-сурет. Екі бағыттас тербелістерді қосудың векторлық диаграммасы

Қорытқы тербеліс амплитудасы және бастапқы фазаны былай жазуға болады

Сонымен дене екі гармониялық тербеліске қатысса, қорытқы тербелістің жиілігі бағыты қосылатын тербелістердің жиілігіндей және бағыттас болады. Қорытқы тербелістің амплитудасы қосылатын тербелістердің фазаларының айырмасына байланысты болады.

Жоғарыда келтірілген (10.22) өрнектің фазаларының айырмасына тәуелділігін талдаймыз:

1. болса, онда

немесе

яғни, қорытқы тербеліс амплитудасы қосылатын тербелістердің амплитудаларының қосындысына тең болады.

1. болса, онда

немесе

яғни, қорытқы тербеліс амплитудасы қосылатын тербелістердің амплитудаларының айырмасына тең болады.

Практикада жиіліктерінің бір-бірінен айырмашылығы аз болатын бағыттас екі гармониялық тербелістің қосылуы маңызды роль атқарады. Мұндай тербелістер қосылған кезде нәтижесінде амплитудасы периодты түрде өзгеріп отыратын тербеліс пайда болады. Амплитуданың осылай өзгеруін соғу деп атайды.

Қосылатын тербелістердің амплитудасы , жиіліктері және +, алғашқы фазалары болсын. Онда (10.22) формула бойынша

Бұл өрнектерді қосып және деп алсақ қорытқы тербеліс өрнегін аламыз

Бұл жерден қорытқы тербелістің периодты түрде өзгеретін амплитудасының өрнегі

болады.

Соғу периоды мынадай болады

10.7-сурет.

Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу

Өзара перпендикуляр келген, жиіліктері бірдей екі тербелістің қосылуын қарастырайық:

Бірінші теңдеуден

,

ал екіншісінен

бұдан

аламыз. Бұл теңдеудің екі жағын да квадраттап, және екенін ескеріп

деп жазамыз.

қорытқы тербеліс теңдеуі эллипс теңдеуі болып табылады. Ендеше мұндай тербелістерді эллипстік поляризацияланған тербелістер деп атайды.

Егер фазалар айырымы

1) болса, онда (10.26) теңдеу келесі түрде жазылады немесе

Бұл түзудің теңдеуі. (+) таңбасы m=0,2,4,6... жұп мәндеріне сәйкес (10.8-сурет, а), ал (-) таңбасы -нің тақ мәніне сәйкес (m=1,3,5...) келеді (10.8-сурет,б).

10.8-сурет.

Қорытқы тербеліс жиілігі , амплитудасы бойымен тербелетін гармониялық тербеліс болып шығады. Бұл жағдайда түзу поляризацияланған тербеліс шығады.

2) болса, онда теңдеу мынадай болады

Бұл теңдеу эллипс теңдеуі (10.9-сурет).

10.9-сурет.

Дербес жағдайда, A=B болғанда, эллипс шеңберге айналады. Егер бір-біріне перпендикуляр қосылатын тербелістердің жиіліктері әр түрлі болса, онда қорытқы тербеліс траекториясы күрделі болады (Лиссажу фигуралары).

10.4 Өшетін тербелістер. Логарифмдік декремент. Автотербелістер.

Өшетін тербеліс деп үйкеліс салдарынан тербелмелі жүйе энергиясының уақыт өте кемуіне байланысты, тербелістің біртіндеп әлсіреуін айтады.

Тербеліп тұрған дененің жылдамдығы аз болған кезде，үйкеліс күші жылдамдыққа пропорционал болады.

– үйкеліс коэффициенті.

Кедергі күшін ескерсек Ньютонның екінші заңы бойынша

Бұл теңдеудің екі жағында m ге бөліп, барлық мүшелерін бір жаққа өкізсек келесі дифференциалдық теңдеуі аламыз:

– циклдік жиілік, – өшу коэффициенті екендігін ескеріп және мәндерін жоғарғы теңдеуге қойсақ, онда өшетін тербеліс теңдеуі келіп шығады:

Орта кедергісінің болуы тербеліс амплитудасының кемуіне әкеліп соғады. Сондықтан теңдеуінің шешімін мынадай түрде іздейік:

өрнегін уақыт бойынша дифференциалдап, және шамаларын табамыз:

және шамаларын (4) өшетін тербеліс теңдеуіне қойып, аса күрделі емес түрлендірулерден кейін мынадай қатыстарға келеміз:

Біздің алған теңдеуіміз нөлге тең болу үшін және алдындағы коэффициенттер нөлге тең болуы қажет. Осылайша біз екі теңдеуге келіп тірелеміз:

теңдеуді шешіп өшетін тербелістің амплитудасының өрнегін табамыз

өшетін тербелістің уақыт бойынша бірінші және екінші реттің туындылары келесі түрде болады:

Осыларды өрнекке қойып, өшетін тербеліс циклдік жиілігі мен периодын табамыз:

Егер болса, онда теңдедің шешімі мына түрде болады

Бұл теңдеудің графигі 10.10-суретте көрсетілген (үзік сызықтармен формуласының, ал қалың сызықпен формуласының уақытқа байланыстылығы).

10.10-сурет.

Өшудің сипаттамалары

1. Релаксация уақыты – амплитуда есе кемитін уақыт.

Анықтама бойынша

1. Өшудің логарифмдік декременті. Уақыт жағынан айырмасы периодқа тең көршілес екі тербеліс амплитудасының қатынасы

өшудің декременті деп аталады, ал оның логарифмі өшудің логарифмдік декременті деп аталады:

Өшудің логарифмдік декременті келесі түрде де өрнектеледі

мұндағы – амплитуда есе кемитін уақыт ішінде жасалатын тербеліс саны.

1. Тербелмелі жүйенің сапалығы:

Автотербеліс. Өшетін тербелістерде жүйенің энергиясы ортаның кедергісін жеңуге жұмсалады. Егер осы кеміген энергияны толықтырып отырсақ, тербеліс өшпейді. Жүйенің энергиясын толықтыру сырттан әсер ету арқылы жүзеге асырылады. Бірақ әсер жүйеге оның тербелісімен бағыттас бірдей жиілікпен берілуі қажет. Бұл шарт орындалмаса, тербеліс әлсірейді немесе мүлдем тоқтайды. Тербелісі сырттан келетін энергияның салдарынан пайда болатын және энергияны өзі реттейтін жүйе автотербелістегі жүйе деп аталады. Автотербелетін жүйеге сағат механизмін жатқызуға болады. Авто-тербелістердің жиілігі және амплитудасы жүйенің қасиеттерімен анықта-лады. Қарапайым автотербелістегі жүйенің өзі күрделі теңдеулермен сипатталады.

Кез келген автртербелмелі жүйе 4 бөліктен тұрады:

1. Тербелмелі жүйе;
2. Қарсылықты жеңу үшін энергия шығынын өтейтін энергия көзі;
3. Клапан-тербелмелі жүйеге энергияның белгілі бір бөліктерде және белгілі бір уақыт аралығында түсуін реттейтін құрылғы;
4. Кері байланыс-тербелмелі жүйенің өзіндегі процестер арқылы клапанның жұмысын басқаратын клапанға Автоматты тербелмелі жүйенің кері әсерін тигізетін құрылғы.

10.12-сурет.

10.5 Еріксіз тербелістер. Резонанс.

Еріксіз тербелістер. Сыртқы периодты күштер әсерінен болатын тербеліс еріксіз тербеліс деп аталады (нақты тербелістер).

Сыртқы периодты күш мынадай гармоникалық заңмен өзгерсін:

Квазисерпімді күшті, ортаның кедергі күшін және сыртқы периодты күшті ескеріп еріксіз тербелістің қозғалыс теңдеуін жазамыз

немесе

Егер

деп алсақ, онда

Ееріксіз тербеліс біраз уақыттан кейін, тұрақты тербеліске айналады, оның жиілігі сыртқы күштің жиілігіне тең, тек фазасы бойынша ϕ шамасына қалып отырады:

Осы теңдеудегі А мен ϕ тұрақтыларын табу үшін х-ті уақыт бойынша екі рет дифференциалдаймыз:

, және еріксіз тербеліс теңдеуіне қойып, олардың арасындағы фазалық ығысуды ескере отырып, осы теңдеуді қолданып векторлық диаграмма саламыз.

10.13-сурет.

Суретте келтірілген векторлық диаграммадан келесі өрнекті аламыз:

Бұдан еріксіз тербеліс амплитудасы

Суреттен ϕ шамасы табамыз

Резонанс. Еріксіз тербеліс амплитудасының сыртқы периодты күштің жиілігіне тәуелді болады. Сыртқы периодты күштің қайсыбір анықталған жиілігінде тербеліс амплитудасы ең үлкен мәнге жетеді. Бұл құбылыс резонанс деп, ал оған сәйкес келетін жиілік — резонанстық жиілік деп аталады. Резонастық жиілікті табу үшін функциясының максимумын табу керек. Осы өрнекті ω бойынша дифференциалдап және оны нөлге теңестіріп, келесін аламыз

теңдеуінің үш шешімі бар: және . Нольге тең шешім бөлімнің максимумына, яғни амплитуданың минумына сәйкес келеді. Қалған екі шешімнен физикалық мәні болмайтын (жиілік теріс бола алмайды) теріс шешімдер алынып тасталады. Сонымен резонанстық жиілік үшін бір мән алынады:

Жиіліктің бұл мәнін өрнекке қойып резонанс кезіндегі амплитуданың өрнегін аламыз:

Өшу коэффициенті кезде， болады.

10.14-сурет.

10.6 Тербелістердің техникадағы рөлі.

Машиналарды және әр түрлі құрылыстарды конструкциялау кезінде резонанс құбылысымен санасуға тура келеді. Бұл құрылғылардың меншікті тербелістерінің жиілігі ешқашанда мүмкін болатын сыртқы әсердің жиілігіне жақын болмау керек. Мысалы, кеме корпусы немесе самолет қанаты вибрациясының меншікті жиілігі, ескі винттің айналуынан пайда болатын тербеліс жиілігінен едәуір өзгеше болуы тиіс. Бұлай болмағанда апатқа апарып соғатын вибрация пайда болады. Маршпен келе жатқан солдаттар колоннасы өткенде көпірдің қирауы тәрізді жағдайлар да болған. Бұл жағдай көпір тербелісінің меншікті жиілігі колонна адымыныц жиілігіне жақын болуынан туған.

Сонымен қатар резонанс құбылысы әсіресе акустика да, радиотехникада т. б. көбінесе өте пайдалы болып саналады.