9-ДӘРІС. СҰЙЫҚТАР МЕН ГАЗДАР МЕХАНИКАСЫ

1. Сұйық пен газдағы қысым. Паскаль заңы. Архимед күші. Денелердің жүзу шарттары.
2. Идеал сұйық. Ағын сызығы мен түтігі. Үзіліссіздік теңдеуі.
3. Бернулли теңдеуі.
4. Тұтқыр сұйықтар қозғалысы. Ішкі үйкеліс күштері. Ламинар және турбулентті ағыстар. Рейнольдс саны. Пуазейль формуласы.
5. Сұйықтар мен газдардағы денелердің қозғалысы. Маңдайлық кедергі күші, ұшақ қанатының көтергіш күші. Стокс формуласы. Магнус эффектісі.

9.1 Сұйық пен газдағы қысым. Паскаль заңы. Архимед күші. Денелердің жүзу шарттары.

Сұйықтың немесе газдың көлемін өзгерту үшін шектеулі сыртқы күш талап етіледі. Сыртқы әсердің нәтижесінде көлемнің өзгеруі кезінде сұйық пен газда серпімді күштер пайда болады да, соңында, сыртқы күштердің әсерімен теңеседі. Сұйықтар мен газдардыц серпімді қасиеті мынадан білінеді: олардың жеке бөліктері бір-біріне немесе олармен жанасатын денеге сұйық пен газдың сығылу дәрежесіне тәуелді болатын күшпен әсер етеді. Мұндай әсер қысым деп аталатын шамамен сипатталады.

Қандай да бір ∆S ауданға сұйық тарапынан нормаль бойымен әсер ететін күштің осы ауданға қатынасымен анықталатын физикалық шаманы қысым деп атайды.

Егер сұйықтың ΔS ауданға әсер ететін күші осы аудан бойынша бір қалыпты бөлінбесе, онда жоғарыдағы өрнек орташа қысымды анықтайды. Берілген нүктедегі қысымды табу үшін ΔS ауданын нөлге ұмтылдыру қажет. Демек, нүктедегі қысым мына өрнекпен анықталады:

Тепе-теңдік күйдегі газдар мен сұйықтардағы қысым Паскаль заңына бағынады. Паскаль заңы: тыныштықтағы газға немесе сұйыққа түсірілген сыртқы қысым көлем бойынша барлық бағытқа бірдей беріледі. Паскаль заңы гидравликалық сыққыштарда ауданды кішірейту арқылы үлкен күш алу мақсатында пайдаланылады.

Ауырлық өрісінде орласқан сығылмайтын тыныштықтағы сұйықтың ішіндегі қысымның таралуын қарастыралық. Сұйықтың тепе-теңдік күйінде горизонталь бағыттағы қысым әрқашан бірдей болғандықтан, сұйықтың еркін беті горизонталь орналасады. Табанының ауданы S, биіктігі h ыдысқа құйылған сұйықтың салмағы:

Оның ыдыс түбіне түсіретін қысымы мына формуламен анықталады:

гидростатикалық қысым деп аталады. Гидростатикалық қысым-тепе-теңдікте тұрған сұйықтың ауырлық күші салдарынын тудыратын қысымы.

Архимед күші. Денелердің жүзу шарттары. Әтүрлі деңгейдегі кысымның бірдей болмау салдары сұйық немесе газ ішіндегі денете эсер ететін ығыстырушы күштің (Архимед күшінің) барын көрсетеді. Ығыстырушы күштің шамасы меп бағытын табу үшін сұйыққа батырылған дедені қарастырайық.

9.4-сурет.

Сұйыққа батырылған дененің биіктігі h және табанының ауданы S цилиндр тәрізді болсын делік. Сұйықтағы цилиндірдің жоғары бетіндегі қысым деп алсақ, онда оның астынғы бетіндегі қысым болады (9.4-сурет). Сонымен цилиндрдің жоғары және астыңғы бетіндегі қысымдарда айырмашылық болады. Егер осы айырмашылықты S ауданға көбейтсек денені жоғары қарай ығыстырушы күшті аламыз

.

Мұндағы сұйыққа батырылған дененің көлемі болып табылады. Онда сұйыққа батырылған дедені кері итеруші күш мынаған тең болады

Бұл теңдеу Архимед заңы деп аталады. Архимед заңы: газға немесе сұйыққа батырылған денеге, дене ығыстырып шығаратын сұйықтың (газдың) салмағына тең кері итеруші күш әсер етеді. Сұйық ішіндегі денеге әсер ететін Архимед күші мен ауырлық күшінің шамаларына байланысты мына жағдайлар орындалады:

1. болса, онда дене сұйық ішінде жүзеді;
2. болса, онда дене сұйыққа батады;
3. болса, онда дене сұйық бетіне шығады.

9.2 Идеал сұйық. Ағын сызығы мен түтігі. Үзіліссіздік теңдеуі.

Сұйық қозғалысын сипаттау үшін, сұйықтың әрбір бөлшегінің уақыт бойынша алынған функциясы есебінде траекториясы мен жылдамдығын беруге болады. Сипаттаудың бұл тәсілін Лагранж жасаған. Бірақ сұйық бөлшектерін қадағалаудың орнына, кеңістіктің жеке нүктелерін бақылап берілген нүкте арқылы өткен сұйық бөлшегінің жылдамдығын белгілеп отыруға болады. Екінші тәсіл Эйлер әдісі деп аталады. Нақты сұйықтар қозғалысының динамикасы өте күрделі. Оны жеңілдету
мақсатында алғашқыда сұйықтық сығылмайды және ішкі үйкеліс күштері
жоқ деп есептейміз. Мұндай сұйық идеал сұйық деп аталады. Сұйықтардың қозғалысы ағын сызығымен кескінделеді. Әрбір нүктесіне жүргізілген жанама сол нүктедегі сұйықтың жылдамдығымен бағыттас сызықтар ағын сызықтары деп аталады.

9.5-сурет.

Ағын сызықтарымен шектелген сұйықтың бөлігін ағын түтігі деп атайды. Ағын сызықтарын, олардың қоюлығы берілгеп орындағы жылдамдықтың шамасына пропорциональ болатындай етіп жүргізілсе, сонда ағын сызықтарының бейнесі бойынша векторының бағыты жөнінде ғана емес, кеңістіктің әрбір нүктесіндегі оның шамасы жөнінде пайымдауға болады: жылдамдық көп болган жерде ағын сызықтары қою, ал керісінше, жылдамдық аз болған жерде ағын сызықтары сирек болады. векторының шамасы мен бағыты уақыт өткен сайын әр нүктеде өзгеріп отыратындықтан, ағын сызықтарының бейнесі де үздіксіз өзгеріп отырады. Сұйықтардың орныққан стационарлық ағыстарында ағын сызықтары бір-бірімен қиылыспайды және уақыт өтуіне байланысты өзгермейді.

9.6-сурет.

Көлденең қималарының аудандары S₁ және S₂ ағын түтігін қарастыралық. Егер де сұйық сығылмайтын болған болса (яғни оның тығыздығы барлық жерде бірдей және өзгере алмайтын болса), онда және (9.3-сурет) қималарының арасындағы сұйық саны өзгеріссіз қала береді. Бұдан шығатыны, бір уақыт бірлігі ішінде және қималары арқылы өтетін сұйықтын көлемдері бірдей болулары керек:

Жоғарыда келтірілген пайымдауды және қималарының кез келген жұбына қолдануға болады. Демек, сығылмайтын сұйық үшін шамасы ағын түтігінің кез келген қимасында бірдей болуы керек:

Алынған нәтиже ағынның үзіліссіздігі туралы теореманың мазмұнын білдіреді.

9.3 Бернулли теңдеуі.

Сығылмайтын сұйықтардың қозғалыс теңдеуін алғаш болып 1734 жылы швейцария физигі Д. Бернулли анықтады. Бернулли теңдеуін қорытып шығару үшін стационар ағатын идеал сүйық ішінен қимасы шағын ағын түтігін бөліп алайық (9.7-сурет). Ағын түтігінің қабырғаларымен шектелген және мен қималары ағын сызықтарына перпендикуляр сұйық бөлігін қарастырайық. Сұйықтың бөліктері h₁ және h₂ биіктерде орналассын және ол жерлерде сұйықтың жылдамдығы сәйкесінше жән , ал қысымы және болсын. уақыттың ішінде сұйық ағын түтігінің бойымен жылжып және аралығындағы жаңа орынды иеленеді. Өте аз уақыт аралығында және , және өзгерістерін ескермеуге болады. Энергияның сақталу заңына сәйкес сығылмайтын сұйықтың толық энергиясының өзгерісі сыртқы күштің массасы сұйықты орын аустырған кездегі жұмысына тең болады:

Мұндағы және массасы m сұйықтың және қималарындағы толық энергиясы, яғни:

(2) өрнекті (1)-ге қойсақ жұмыс мынаған тең болады:

9.7-сурет.

Екінші жағынан сыртқы күштің жұмысы – және қималарымен шектелген сұйықты аз уақыт аралығында орын аусытырған кездегі жұмыс. Массасы m сұйықты S₁-ден -ге дейін орын ауыстыру үшін ол , ал -ден -ге дейін орын ауыстыру үшін қашықтыққа жылжу керек. өте аз шама болғандықтан, суретте боялған бөліктің барлық жерінде сұйықтың жылдамдығы, қысымы және биіктігі бірдей болады. Олай болса

мұндағы және ( күш теріс болады, өйткені ол ағысқа қарсы бағытталған(cуретке қара)). және күштердің, қашықтықтардың өрнектерін (9.10) өрнекке қойып, сонда:

(9.9) өрнекпен (9.11) өрнекті бір-біріне теңестіріп және қималарына тиістілерді теңдеудің бір жағына өткізсек келесіні аламыз:

Сығылмайтын сұйықтардың үзіліссіздік теңдеуіне сәйкес уақытта және қималарды ағып өткен сұйықтардың көлемі келесі түрде болады:

Сұйықтардың (9.13) көлемінің өрнегін алдыңғы (9.12) өрнекке қойып, массаны тығыздық арқылы жазып жіне түрлендірулер жүргізіп келесіні аламыз

Көлденең қима еркін таңдалған, сондықтан да

Бұл Бернулли теңдеуі болы табылады, мұндағы – статикалық қысым; – гидростатикалық қысым; – динамикалық қысым.

Горизонталь орналасқан ағын түтігі үшін Бернулли теңдеуі төмендегідей түрленеді:

Бернулли теңдеуін ішкі үйкеліс күштері үлкен емес нақты сұйықтарға қолдануға болады. Соңғы теңдеуден жылдамдық үлкен нүктелерде қысымның аз болатындығын көреміз.

Бернулли теңдеуінің салдары

1. Жіңішке ағындағы қысымды есептеу

9.9-сурет.

Яғни болса, .

теңдеуінен екені шығады.

Осы құбылыстың көмегімен түтік ішіндегі сұйық жылдамдығын өлшеу тәсілі шығады.

9.10-сурет. Вентури түтігі

мен манометрлердің көрсеткіштері.

1. Статикалық және динамикалық қысымдарды өлшеу

А – статикалық қысым манометрі;

В – толық қысым манометрі;

С – дифференциалдық манометр (миллиметр сынап бағанымен жылдамдықтық қысымды өлшейді)

Статикалық қысым – манометр түтігіндегі сұйық бағанының қысымымен теңеледі.

Толық қысым – манометр түтігіндегі сұйық бағанының қысымымен теңеледі.

9.4 Тұтқыр сұйықтар қозғалысы. Ішкі үйкеліс күштері. Ламинар және турбулентті ағыстар. Рейнольдс саны.

Идеалды сұйық, яғни үйкеліссіз сұйық, абстракция боп табылады. Барлық нақты сұйықтар мен газдарға көп не аз дәрежеде тұтқырлық немесе ішкі үйкеліс тән. Әр түрлі жылдамдықпен бір-біріне қатысты параллелді қозғалушы сұйықтың қабатырының арасында қабаттың беттеріне жанама бойымен бағытталған ішкі үйкеліс күші пайда болады. Бұл күштердің пайда болуына байланысты жылдамырақ қозғалатын қабат тарапынан баяуырақ қозғалатын қабаттқа үдетуші күш, ал баяуырақ қозғалатын қабат тарапына жылдамырақ қозғалатын қабатқа тежеуші күш әсер етеді.

Ішкі үйкеліс күші қарастырылып отырған қабаттың S (9.5-сурет) ауданына және қабаттан қабатқа өткен кезде сұйықтың ағыс жылдамдығы қаншалықты тез өзгеретіндігіне байланысты болады. Суретте сұйықтың бір-бірінен dy қашықтықта орналасқан жылдамдықтары υ₁ және υ₂ екі қабаты келтірілген. Бұл кезде . – қабаттардың қозғалысқа перпендикуляр болатын y бағытындағы жылдамдықтың бір қабаттан екіншісіне өткенде қаншалықты тез өзгеретіндігін көрсететін шама, оны жылдамдық градиенті деп атайды. Сонымен әр түрлі жылдамдықпен бір-біріне параллель қозғалушы сұйықтың екі көршілес қабатырының арасындағы үйкеліс күшінің модулі:

мұнда – сұйық қабатының аумағы, – сұйық қабаттары арасындағы жылдамдық градиенті, – сұйықтың динамикалық тұтқырлығы деп аталады.

9.12-сурет.

Тұтқырлық коэффициенті температураға байланысты болады және де сұйық пен газ үшін бұл байланыстың сипаты түрліше болады. Сұйықта тұтқырлық коэффиценті температураның артуына байланысты кемиді, ал газда өседі. Бұл ерекшелік сұйықтар мен газдардағы ішкі үйкеліс механизмінің әр түрлі болатынын көрсетеді.

Сұйық дөңгелек трубамен қозғалғанда жылдамдық труба қабырғаларында нольге, трубаның осінде ең жоғары мәніне тең болады. Ағыс жылдамдығы онша үлкеп болмаса, кез келген радиус бойындағы жылдамдық мына заң бойынша өзгеретінін көрсетуге болады:

Сұйықтың (немесе газдың) ағысының екі түрін бақылауға болады. Біреуінде, сұйық, қабаттарға бөлінген сияқты араласпай бір-біріне қатысты сырғанаған тәрізді болады. Мұндай ағын ламинарлы ағын.

Жылдамдық немесе ағынның көлденең қимасы артқанда ағын сипаты елеулі түрде өзгереді. Сұйықтың лезде араласып кетуі туындайды. Мұндай ағын турбулентті деп аталады.

Ағылшын ғалымы Рейнолдс ағын сипатының мөлшерсіз шаманың мәніне тәуелді екендігін анықтаған (сурет):

мұнда ρ – сұйықтың (немесе газдың) тығыздығы, – құбырдың көлденең қимасы арқылы сұйықтың орташа жылдамдығы, η – сұйықтың тұтқырлық коэффициенті, l – сызықтық мөлшер, мысалы құбыр диаметрі, – кинематикалық тұтқырлық. Бұл шама Рейнольдс саны деп аталады.

9.13-сурет.

9.13-суретте Рейнольдс тәжірибесінің сұлбасы көрсетілген, түтіктегі судың жылдамдығы аз болған кезде оған жіберілген қызыл бояу араласпай ағады. Рейнольдс санының аз мәндері тұсында ламинарлық ағын байқалады. Re-ң қайсібір белгілі мәнінен бастап, ол шиеленіс деп аталады, ағын турбуленттік сипатқа көшеді.

болған кезде ламинарлық ағыс байқалады, аралығында ағыс ламинарлы ағыстан турбуленттік ағысқа өтеді. Re=2300 болған кезде турбуленті ағыс байқалады. Суретте ламинарлы ағыс пен турбулентті ағыстың орташа жылдамдығының «профилі» кескінделген.

914-сурет.

9.15-сурет.

Пуазейль формуласы. Тұтқырлық коэффициентін анықтаудың бұл әдісі жіңішке капиллярдағы сұйықтың ламинарлық ағысына негізделген. Көлденең қимасының радиусы R, ұзындығы l капиллярды қарастырайық. Сұйықта ойша радиусы r, қалыңдығы dr цилиндрлік қабатты бөліп аламыз (9.15-сурет). Осы қабаттың бүйір бетіне әсер ететін үйкеліс күші мына формуламен есептеледі:

Мұндағы, dS – цилиндрлік қабаттың бүйір беті, теріс таңба радиус артқан сайын жылдамдықтың кемитіндігін көрсетеді. Ішкі үйкеліс күші цилиндрдің ұштарындағы қысым күштерінің айырымы теңгерілген кезде сұйықтың ағысы орнығады:

Бұдан

Цилиндрдің қабырғасына жанасатын сұйық оған жабысатындықтан, жылдамдығын нөлге тең деп алып, өрнегін интегралдайық:

өрнегінен сұйық бөлшектерінің жылдамдықтары парабола бойынша үлестірілетінін көреміз. Параболаның төбесі құбырдың осінің бойында жатады.

t уақыт ішінде құбырдан көлемі мына формуламен есептелетін сұйық ағып шығады:

өрнегі Пуазейль формуласы деп аталады.

Бұдан тұтқырлық:

9.5 Сұйықтар мен газдардағы денелердің қозғалысы. Маңдайлық кедергі күші, ұшақ қанатының көтергіш күші. Стокс формуласы. Магнус эффектісі.

Сұйық немесе газ ағынының және олардың ішіндегі қозғалыстағы денелерге әсер ететін күштерді білудің гидроаэродинамиканың көптеген әртүрлі есептерін шешуде үлкен практикалық мәні бар. Әсіресе, авиацияның дамуы мен су кемелерінің жылдамдығын арттыруда оның алатын орны ерекше. Сұйықтарда немесе газдарда қозғалатын денелерге екі күш әсер етеді: дененің қозғалысына қарсы, ағынмен бағыттас маңдайлық кедергі және осы бағытқа перпендикуляр көтергіш күштер (9.16-сурет). Екі күштің қорытқысын векторлық түрде жазайық. .

9.16-сурет

Маңдайлық кедергі күші.

Есептеулер идеал сұйықта бірқалыпты қозғалатын денелерге маңдайлық кедергі күші әсер етпейтіндігін көрсетті. Өйткені тұтқырлығы жоқ идеал сұйық қатты дененің бетімен еркін сырғанап, оны айналып ағып өтеді. 9.17 а-суретте өте ұзын цилиндрді айналып ағып өткендегі идеал сұйықтың ағын сызықтары көрсетілген. Толық орай ағу салдарынан ағын сызықтарының бейнесі А және В нүктелері арқылы өтетін түзуге қарағанда да сол сияқты С және D нүктелері арқылы өтетін түзуге қарағанда да толығымен симметриялы болады. Сондықтан А және В нүктелердің маңындағы қысым бірдей болады; дәл осылай С және D нүктелерінің маңындағы қысым да бірдей болады. Демек, цилиндр бетіндегі корытқы кысым күші (тұткырлық болмаған кезде маңдайлық кысым тудыра алатын) нольге тең болатыны түсінікті. Дәл осындай нәтиже басқа формалы денлер үшін де алынады.

Дене тұткырлығы бар сұйық ішінде қозғалғанда құбылыстар басқаша өтеді. Бұл жағдайда сұйықтың өте жұқа қабаты дененің бетіне жабысып қалады да, үйкеліс салдарынан келесі қабаттарды өзімен ілестіре отырып, денемен бірге біртұтас қозғалысқа қатысады. Дене бетінен алыстаған сайын қабаттардың жылдамдығы кеми береді де, ақырында, сұйық бетінен белгілі бір қашықтықта, сұйық іс жүзінде дене қозғалысы салдарынан ұйтқымайды. Сонымен, дене жылдамдықтың градиенті бар сұйық қабатымен қоршалады. Бұл қабат шекаралық деп аталады. Бұл қабатқа үйкеліс күші әсер етеді де соңында денеге түсірілген бұл күш мандайлық кедергінің пайда болуына әкеліп соғады. Шекаралық қабаттың болуы сұйықтың денені орай ағу сипатын түбірімен өзгертеді. Үйкеліс күшінін беттік қабаттағы әсері ағынның дене бетінен үзілуіне әкеліп соғады, мұның нәтижесінде дененің артқы жағында құйын пайда болады (9.17 ә-сурет). Дененің артқы жағындагы құйындалған аймақта пайда болатын қысым төмен болады, сондықтан қорытқы қысым күші нольден өзгеше болып, өз тарапынан маңдайлық кедергінің туына себепші болады. Маңдайлық кедергі үйкеліс кедергісі мен қысым кедергісінен құралады. Дененің берілген көлденең өлшемдеріндегі қысым кедергісі оның формасына едәуір тәуелді болады. Үйкеліс кедергісі мен қысым кедергісінің арасындагы қатыс Рейнольдс санының мәні бойынша анықталады. Re шамасы аз болганда негізгі рольді үйкеліс кедергісі атқарады, сол себептен де қысым кедергісін еске алмауға да болады. Re артқан сайын, қысым кедергісінің ролі арта береді.

9.17-сурет.

9.18-сурет.

Сонымен, маңдайлық кедергі күші дененің пішініне және оның орналасуына тәуелділігі өлшем бірлігі жоқ тәжірибе жүзінде анықталатын кедергі коэффициенті арқылы ескеріледі:

Мұндағы, ρ – ортаның тығыздығы, υ – дененің жылдамдығы, S дененің ең үлкен көлденең қимасының ауданы. Маңдайлық кедергі дененің пішініне байланысты болады. Егер ағынға орнатылған пластина үшін маңдайлық кедергі күші бірлік ретінде қабылданса (9.18а-сурет), онда қалғандары үшін мына қатынс орындалады: (9.11ә-сурет); (9.18б-сурет); (9.18в-сурет). Көріп тұрғанымыздай маңдайлық кедергі ең азы аққыш пішінді денеде болады.

Көтергіш күш.

Көтергіш күштің пайда болуы үшін сұйық тұтқырлығының айтарлықтай мәні болмайды. Суретте идеал сұйықтың жарты цилиндрді қаптай аққандағы ағын сызықтары көрсетілген. Толық қаптай ағу салдарынан ағын сызықтары CD түзуіне қатысты симметриялы болады. Алайда көрініс АВ түзуіне қатысты симметриялы болмайды. Ағын сызықтары С нүктесі маңында қоюланады, сондықтан бұл жердегі қысым, D нүктесі маңындағы қысымнан аз болады да Р көтергіш күш пайда болады. Осыган ұқсас тұтқыр сүйықта да көтергіш күш пайда болады.

9.19-сурет.

Көтеруші күш мына формуламен есептелінеді:

Мұндағы, C_y көтеруші күштің өлшемсіз коэффициенті. Ұшақты ауада ұстап тұратын күш қызметін оның қанатына әсер етуші көтергіш күш атқарады. Маңдайлық кедергі ұшақтың ұшуы кезінде зиянды роль атқарады. Ұшақтың қанатына маңдайлық кедергі күші аз, көтеруші күші көп күштер әсер етуі қажет. Қанат осы шартты, оның сапасы деп аталатын K=C_y/C_x қатынасы көп болған сайын жақсы қанағаттандырады. Аэрогидродинамиканың дамуына Н. Е. Жуковский қомақты үлесін қосты.

Стокс формуласы.

Re Рейнольдс саны аз кезінде, яғни қозғалыстың бояу жылдамдығы тұсында, ортаның қарсылығы іс жүзінде тек үйкеліс күштерінің негізінде ғана болады. Стокс бұл жағдайда қарсылық күші динамикалық тұтқырлық коеффициентіне η , дене қозғалысының υ жылдамдығына және денеге тән мөлшерге l: F ~ηlυ пропорционалды екенін анықтады. Мысалы, шар үшін, егер l орнына шардың r радиусын алар болсақ, пропорционалдылық коеффициенті 6π тең болып шығады. Ендеше:

Бұл формула Стокс формуласы деп аталады.

Магнус эффектісі.

Егер тыныштық күйдегі дөңгелек цилиндрді оның осіне перпендикуляр ауа ағыны бірқалыпты орап ақса, симметрияга байланысты тек маңдайлық кедергі туады, ал ешқандай көтергіш күш байқалмайды. Бірақ, егер цилиндрді айналдыра бастасақ, ағын бағытына перпендикуляр күш туады. Бұл құбылысты оны ашқан және тәжірибе жүзінде зерттеген галым атымен Магнус эффектісі деп атап кеткен.

9.21-сурет.