5-ДӘРІС. ЖҰМЫС ЖӘНЕ ЭНЕРГИЯ

1. Энергия, жұмыс және қуат.
2. Кинетикалық энергия.
3. Консервативті және консервативті емес күштер. Потенциалдық энергия.
4. Толық механикалық энергия. Механикалық энергияның сақталу заңы.
5. Шарлардың орталық соқтығысы.

5.1 Энергия, жұмыс және қуат.

Энергия – материяның барлық түрлерінің әсерлесуінің және қозғалыстың жалпы (әмбебап) сандық өлшеуіші. Материя қозғалысының әр- түрлі формалары энергияның әр-түрлі формаларымен байланысқан: механикалық, жылулық, электромагниттік, ядролық және т.б.

Энергия – материяның барлық түрінің қозғалысы мен өзара әсерлесуінің түрлі формаларының әмбебап өлшеуіші.

Материя қозғалысының түрліше формалары энергия әр түрлі формаларымен байланысқан: механикалық, жылулық, электромагниттік, ядролық және т.б.

Энергия бір түрден екінші түрге түрлене алады. Қандайда бір құбылыстарда энергия түрі өзгермейді, мысал: ыстық дене салқындай отырып суық денеге айналғанда. Ал кейбір құбылыстарда энергия түрі өзгереді, мысалы: механикалық қозғалыс үйкеліс нәтижесінде жылулық қозғалысқа айналады. Бірақ, барлық жағдайларда да басқа денеге берілген энергия екінші дене алған энергияға тең болады.

Энергия ешқайда жоғалмайды да пайда болмайды да, ол бір түрден екінші түрге өзгеріп отырады. Бұл заңдылық толық энергияның сақталу немесе түрлену заңы деп аталады.

Жұмыс. Өзара әсерлесу нәтижесінде денелердің энергиясы өзгеріске түсуі мүмкін. Өзара әсерлесуші денелер энергияcының өзгерісін сипаттау үшін арнайы физикалық шама- күш жұмысы енгізілген.

Егер түзу сызықты қозғалыс кезінде күш тұрақты болса (), онда жұмыс мына формула арқылы өрнектеледі

мұндағы α– күш бағыты мен орын ауыстыру арасындағы бұрыш; –орын ауыстыру бағытындағы күш проекциясы.

– модулі және бағыты бойынша өзгеруі мүмкін, мұндай жағдайда элементар уақыт аралығындағы шексіз аз элементар орын ауыстыруды қарастырамыз. Бұл жағдай да күшті тұрақты, ал қозғалысты түзу сызықты деп есептеуге болады. күштің элементар орын ауыстыру кезіндегі атқарған элементар жұмысы келесі түрде болады

мұндағы – күш пен элементар орын ауыстыру арасындағы бұрыш, – элементар жол.

Траекторияның 1-ші нүктеден 2-ші нүктеге дейінгі бөлігіндегі жұмыс жолдың жеке бөліктеріндегі шексіз аз элементар жұмыстардың алгебралық қосындысына тең болады

(5.1) формуладан көріп тұрғанымыздай жұмыстың таңбасы α– күш бағыты мен орын ауыстыру арасындағы бұрышқа байланысты.

Егер тәуелділігі график түрінде берілсе, онда толық жұмыс қисықсызықтық фигураның ауданымен анықталады.

5.3-сурет.

Қуат. Жұмыстың атқарылу шапшаңдығын сипаттау үшін қуат түсінігін енгіземіз. Қуат - бірлік уақытта атқарылатын жұмыс

күш уақыт ішінде жұмыс жасайды, және берілген уақыт мезетіндегі осы күштің өндіретін қуаты

яғни күш векторының жылдамдық векторына скаляр көбейтіндісіне тең.

Қуттың өлшем бірлігі – ватт (Вт): 1 Вт – 1 с уақыт аралығында 1 Дж-ға тең жұмыс істеу кезіндегі қуат (1 Вт = 1 Дж/с).

5.2 Кинетикалық энергия.

Дененің кинетикалық энергиясы оның механикалық қозғалысының өлшеуіші болып табылады және осы денені қозғалысқа келтіру үшін істелінген жұмыспен анықталады.

Егер тыныштықтағы денеге күш әсер етіп оны қозғалысқа келтірсе, онда ол жұмыс істейді. Ал қозғалыстағы дененің энергиясы жұмсалған жұмысқа тең шамаға артады. Осыдан дененің жылдамдығын 0 ден дейін арттыруға кеткен уақыт аралығында жүріп өткен жолындағы күшінің жұмысы дененің кинетикалық энергиясын арттыруға жұмсалады

Ньютонның екінші заңының өрнегін пайдалана отырып және оны орын ауыстыруға көбейтіп мынаны аламыз:

болатындығын ескерсек, онда

болады. Бұдан

Сонымен жылдамдықпен қозғалатын, массасы m дененің кинетикалық энергиясы

Дененің кинетикалық энергиясын p импульс арқылы жазып көрсетуге болады

Формуладан көрініп тұрғандай, кинетикалық энергия дененің массасы мен жылдамдығына тәуелді, демек жүйенің кинетикалық энергиясы оның қозғалыс күйінің функциясы. Кинетикалық энергияның формуласын қорыту кезінде қозғалыс инерциялық санақ жүйесінде қарастырылады, өйткені Ньютонның заңы басқа санақ жүйелерінде орындалмайды. Бір біріне қатысты қозғалатын әр түрлі инерциялық санақ жүйелеріндегі дененің жылдамдығы және кинетикалық энергиясы әр түрлі болады. Бұдан, кинетикалық энергия таңдап алынған санақ жүйесіне тәуелді болады.

5.3 Консервативті және консервативті емес күштер. Потенциалдық энергия.

Егер дене, кеңістіктің әрбір нүктесінде күші бар басқа бір дененің әсеріне тап болатын жағдайға түссе, онда ол денені күш өрісінде тұр деп айта аламыз.

Мысалы, дене Жер бетіне жақын жерде ауырлық күшінің өрісінде болады, кеңістіктің әрбір нүктесінде оған тік төмен қарай бағытталған күші әсер етеді.

5.6-сурет.

Жалпы жағдайда денені 1-нүктеден 2-нүктеге алып өткенде күш өрісінің жұмысы жолдың пішініне тәуелді болады (5.6-сурет).

Дененің орнына ғана байланысты болатын күштер өрісі үшін олардың денеге қатысты істейтін жұмысы жолдың пішініне тәуелді болмай, дененің кеңістіктегі бастапқы және соңғы орнымен ғана анықталатын жағдайы болады. Бұл жағдайда күштер өрісін потенциалды деп (мысалы, гравитациялық күш өрісі, серпімділік күші өрісі), ал күштердің өзін консервативті деп атайды. Жұмысы дененің бір орнынан екінші орынға ауысқандағы жолына тәуелді күштер консервативті емес (диссипативті) күштер деп аталады. Консервативті емес күштерге үйкеліс күші мысалы болады. Кез келген тұйық жолдағы консервативтік күштердің жүмысы нөлге тең болады.

Егер дене күштердің потенциалдық өрісінде орналасса, онда ол U потенциалдық энергияға ие бола алады. Потенциалдық энергия – денелердің өзара орналасуына және олардың өзара әсерлесу күшінің сипатына байланысты болатын механикалық жүйе энергиясы. Денеге түсірілген консервативті күштердің жұмысы осы дененің потенциалдық энергиясының теріс таңбалы өзгерісіне тең, демек, жұмыс потенциалдық энергияның азаю үлесінен жүреді.

Жұмысты күш арқылы өрнектесек (5.9) теңдеу келесі түрде болады

функциясының нақты түрі күш өрісінің сипатына тәуелді. функциясы белгілі болса, (5.10) теңдеуден күшті модулі және бағыты бойынша табуға болады. (5.10) өрнектен потенциалдық энергияны табамыз, ол мына түрде жазылады

мұндағы – интегралдау тұрақтысы, яғни потенциалдық энергия қандайда бір белгісіз аддитивті тұрақты шамаға дейінгі дәлдікпен анықталады. Алайда мұның ешқандай әсері жоқ барлық физикалық қатыстарға дененің екі түрлі жағдайындағы потенциалдық энергиясының айырмасы немесе U-дың координата бойынша туындысы ғана енеді. Сондықтан да дененің потенциалдық энергиясын қандай да бір белгілі жағдайда нөлге тең деп алады (санақтың нөлдік деңгейі таңдалады).

Потенциалдық энергия мен күш арасындағы байланысты табайық. Ол үшін екенін ескеріп (5.10) өрнекті былай жазамыз

– орын ауыстыру бағытындағы потенциадық энергияның кемуі. Осыдан:

орын ауыстыруын кез келген бағытта, мысалы өстері бойында да алуға болады. Олай болса консервативті күштер үшін (5.13) өрнекті мына түрде жазамыз:

Күштің векторлық түрде болатындығын ескерсек, онда (5.14) теңдеу келесі түрде өрнектеледі

Бұл жерде жақшаның ішіндегі шама U скаляр шаманың градиенті деп аталады

Градиент дегеніміз шаманың бағыт бойынша өзгеру шапшаңдығы.

Жоғарыдағыларды ескерсек күш пен потенциалдық энергия арасындағы байланыс келесі түрде болады

Мұндағы градиентті Гамильтон операторы арқылы өрнектуге болады, онда (8) өрнек төмендегідей жазылады

функциясының нақты түрі күш өрісінің сиаптына байланысты. Мысалы:

1. Жер бетінен биіктікке көтерілген массасы дененің потенциалдық энергиясы мынаған тең

мұндағы – дененің тең деп алынатын нөлдік деңгейден биіктігі.

1. Серпімді деформацияланған дененің потенциалдық энергиясы

Серпімділік күші деформациялануға пропорционал:

Ньютонның үшінші заңы бойынша, серпімділік күшіне ие болу үшін оған күш түсірілуі қажет

Шексіз аз dx деформациялануы кезіндегі Ғ күші істеген dA элементар жұмыс

Бұдан

Толық жұмыс серіппенің потенциалдық энергиясын арттыруға жұмсалады.

(5.20) өрнектен серпімді деформацияланған серіппенің потенциалдық энергиясы мынаған тең болады

5.4 Толық механикалық энергия. Механикалық энергияның сақталу заңы.

Материялық нүктелер жүйесінің толық механикалық энергиясы оның кинетикалық энергиясы мен потенциалдық энергиясының қосындысына тең:

Механикалық энергияның сақталу заңын қорыту үшін материалдық нүктелер жүйесін қарастырамыз. Жүйедегі нүктелерге келесі күштер әсер етеді:

– тең әсерлі ішкі консервативті күштер;

– тең әсерлі сыртқы консервативті күштер;

– сыртқы консервативті емес күштер.

Жүйедегі материалдық нүктелер үшін Ньютонның екінші заңын жазамыз:

Нүктелер жүйесі күштердің әсерінен қозғала отырып уақыт интервалында орын ауыстырулар жасайды. Әрбір теңдеуді сәйкес орын ауыстыруларға скаляр көбейтеміз және екендігін ескереміз:

Бұл теңдеулерді мүшелеп қосып келесіні аламыз

Мұндағы – кинетикалық энергияның өзгерісі, – консервативті күштердің элементар жұмысы теріс таңбамен алынған потенциалдық энергияның өзгерсіне тең, – сыртқы консервативті емес күштердің элементар жұмысы болып табылады.

Осыларды ескеріп (5.23) өрнекті мына түрде жазамыз

Егер жүйеге сыртқы консервативті емес күштр әсер етпесе , онда

Бізге белгілі тұрақты санның туындысы нөлге тең болатындығы, яғни

Жүйеде тек консервативті күштер әрекет етсе, онда оның толық механикалық энергиясы өзгермейді.

5.5 Шарлардың орталық соқтығысы.

Абсолют серпімді соқтығу деп денелердің механикалық энергиясы энергияның механикалық емес басқа түрлеріне өтпеген соқтығысуды айтады.

Абсолют серпімді соқтығыс кезіндегі механикалық энергия мен импульстің сақталу заңдары орындалады.

Абсолют серпімді соқтығыс кезіндегі механикалық энергия мен импульстің сақталу заңдары келесі түрде болады

Сақталу заңдарының теңдеулерін түрлендіріп келесілерді аламыз

Бұл теңдеулерді бір-біріне мүшелеп бөлсек мынау шығады

(5.27) өрнекпен (5.29) өрнектерді шешу арқылы шарлардың соқтығыстан кейінгі жылдамдығын табамыз

Жылдамдықтардың вектордың бойымен проекциясы

Мысалы, болған кезде

Соқтығысқан кезде серпімді деформацияның потенциалдық энергиясы пайда болмаса, денелердің кинетикалық энергиясы толығынан немесе жартылай ішкі энергияға айналса, соқтығысқаннан кейін соқтығысқан денелер не бірдей жылдамдықпен қозғалатын болса, не тыныштықта болса, соқтығу абсолют серпімсіз соқтығу деп аталады.

Абсолют серпімсіз соқтығу кезінде импульстың сақталу заңы ғана орындалып, ал механикалық энергияның сақталу заңы орындалмайды.

Бұдан