7-ДӘРІС. БҮКІЛӘЛЕМДІК ТАРТЫЛЫС ЗАҢЫ

1. Бүкіләлемдік тартылыс заңы. Ауырлық күші және салмақ. Ауырлық және инертті масса.
2. Тартылыс өрісі. Кернеулік. Потенциал.
3. Планеталардың қозғалысы. Кеплер заңдары.
4. Ғарыштық жылдамдықтар.

7.1 Бүкіләлемдік тартылыс заңы. Ауырлық күші және салмақ. Ауырлық және инертті масса.

Кез келген екі материалдық нүктелердің арасындағы әсер ететін тартылыс күші модулі жағынан олардың массаларының көбейтіндісіне тура пропорционал, ал ара қашықтығының квадратына кері пропорционал болады:

Бұл күш гравитациялық немесе бүкіләлемдік тартылыс күші деп аталады. G=6,6720⋅Н – пропорционалдық коэффициенті гравитациялық тұрақтысы деп аталады.

Жерге жақын орналасқан барлық денелерге Ғ тартылыс күші әсер етеді. Осы әсерден олар бірдей g үдеумен құлайды. Олай болса, Жермен байланысқан санақ жүйесінде массасы m денеге ауырлық күші деп аталатын күш әсер етеді:

Денелердің еркін түсу үдеуі Жердің радиусына байланысты өзгереді. (Экваторда 9,780 м/c² , полюста 9,832 м/c² ) Егер жердің өз осінен айналуын ескермесек, ауырлық күші мен гравитациялық өрістің тарылыс күші бір-біріне тең болады:

Мұндағы, М Жердің массасы, R Жердің центрінен денеге дейінгі қашықтық. Бұл жағдайда Жердің бетінде жатқан дене қарастырылған. Егер дене Жер бетінен һ қашықтықта орналасса, ауырлық күші төменде келтірілген формуламен есептеледі:

мұндағы, – Жердің радиусы. Ауырлық күші Жер бетінен қашықтаған сайын кемиді.

(7.4) өрнектен еркін түсу үдеуі келесі түрде болады

Физикада дененің салмағы деген ұғым қолданылады. Дененің салмағы деп Жердің тартылыс күшінің әсерінен оның тіреуішке немесе аспаға түсіретін қысым күшін айтады. Салмақ дене үдеуіне тең емес үдеумен қозғалғанда, яғни оған ауырлық күшінен басқа күш әсер еткенде пайда болады. Тек ауырлық күшінің әсерінен қозғалатын дененің күйі салмақсыздық күйге жатады. Егер дене ауырлық өрісінде үдеумен қозғалса, онда оған төмендегі шартты қанағаттандыратын қосымша күші түсірілген:

Онда дененің салмағы

Ауырлық және инертті масса.

Масса әр түрлі екі заңда — Ньютонның екінші заңында және бүкіл әлемдік тартытлыс заңында — қатысады. Бірінші жағдайда ол дененің инерциялық қасиетін, ал екіншісінде гравитациялық қасиетті, яғни денелердің бірін-бірі тартатын қабілеттілігін сипаттайды. Осыған байланысты т_іп инерциялы масса мен m_g гравитациялық, (тартылыстық) массаны ажыратуға болмас па екен деген сұрақ туады. Бұл сұрақтың жауабын тек тәжірибе ғана бере алады. Денені еркін түсуін гелиоцентрлік санақ жүйесінде қарастырайық. Жер бетіне жақын кез келген дене Жердің тарту күшіне душар болады, ол (7.1) формуласына сәйкес мынаған тең:

Осы күштің әсерінен дене а үдеуіне ие болады, ол үдеу F күшін т_іп инерциялы массаға бөлгенге тең болуға тиіс:

Тәжірибе көрсеткендей барлық денелер үшін a үдеуі бірдей болады (-нің бірдейлігінен, біздің бұдан бұрын көргеніміздей a-нің, бірдейлігі шығады). Демек, көбейткіші де барлық дене үшін бірдей болады. Сондықтан қатынасы да барлық денелер үшін бірдей болып шығады. Инерциялы масса мен гравитациялық масса арасындағы айырмашылықтың білінуі мүмкін басқа тәжірибелердің барлығының да нәтижесі алдыңғыдай нәтижеге әкеледі.

Тәжірибе фактілерінің жиынтығы барлық денелердің инерциялы массасы мен гравитациялық массасы бір-біріне дәлме-дәл пропорционал екендігін көрсетеді. Бұл — өлшеу бірлігін тиісінше таңдап алғанда гравитациялык масса мен инерциялы масса теңбе-тең болады деген сөз, сондықтан физикада тек масса туралы айтылады.

7.2 Тартылыс өрісі. Кернеулік. Потенциал.

Бүкіл әлемдік тартылыс заңы күштің шамасы мен бағытын анықтайды, бірақ өзара әсер қалай жүзеге асырылады деген сұраққа жауап бермейді. Денелердің гравитациялық өзара әсері тартылыс өрісінің, яғни гравитациялық өрістің көмегімен жүзеге асырылады. Гравитациялық өріс – массасы бар дененің айналасында пайда болатын материяның ерекше түрі. Оның басты қасиеті m массасы бар кез келген денеге

күшпен әсер етеді. векторы m массаға тәуелді болмайды және тартылыс өрісінің кернеулігі деп аталады.

Гравитациялық өрістің кернеулігі сан жағынан өріс тарапынан бірілік массалы материалдық нүктеге әсер ететін күшпен анықталады және сол күштің бағытымен бағытталады:

Кернеулік тартылыс өрісінің күштік сипаттамасы болып табылады. Егер тартылыс өрісінің кернеулігі барлық нүктелерде бірдей болса ондай өрісті біртекті, ал барлық нүктелерінде кернеулік векторлары инерциалды санақ жүйесімен салыстырғанда тыныштықтағы А нүктесінде қиылысатын түзулердің бойымен бағытталса, оны орталықтандырылған тартылыс өрісі деп атайды.

7.1.-сурет.

Гравитациялық өрісті графиктік түрде сиапттау үшін күш сызықтары қолданылады. Күш сызықтары деп, әрбір нүктесіне жүргізілген жанама сол нүктелердегі кернеулік векторларымен сәкес келетін сызықтарды айтады.

Материалдық нүкте өрісінің кернеулігі:

Гравитациялық өріс потенциалы (φ) – өрістің берілген нүктесіндегі бірлік массалы дененің потенциалдық энергиясымен анықталатын өрістің энергетикалық сипаттамасы:

Гравитациялық өрістегі дененің потенциалдық энергиясы мынаған тең:

Олай болса денені потенциалы ϕ₁ нүктеден потенциалы ϕ₂ нүктеге орын ауыстырған кездегі гравитациялық өрістің жасаған жұмысы мынаған тең:

Екі нүктенің арасындағы орын ауыстырған кездегі гравитациялық өрістің жұмысы траекторияның пішініне тәуелді емес, ол өрістің бастапқы және соңғы нүктелердегі потенциалдардың айрымымен анықталады. Тұйық траекторияда гравитациялық өрістің жұмысы нөлге тең болады. Бұл жағдайда бүкіл әлемдік тартылыс күші мен ауырлық күші консервативті, ал өріс потенциалды деп аталады.

Материалдық нүкте үшін тартылыс өрісінің потенциалының формуласы келесі түрде болады:

Потенциалдары бірдей нүктелердің геометриялық орынын эквипотенциал бет деп атайды. Эквипотенциал беттердің бойымен орын ауыстырған кездегі гравитациялық өрістің жұмысы нөлге тең.

Соңғы формуладан көрініп тұрғандай шексіздікте өріс потенциалын нөлге тең деп алуға болады. Олай болса өріс потенциалына екінші анықтама беруге болады - бірлік массаны шексіздіктен өрістің берілген нүктесіне орын ауыстырғанда істелінетін жұмысқа тең скалярлық шама

Өрістің ϕ потенциалы мен кернеулігінің арасындағы байланыс. Массасы m денені кішкентай арақашықтыққа орын ауыстырғанда өріс күшінің істейтін элементар жұмысы мына формуламен анықталады:

Екінші жағынан ( элементар орын ауыстыру, ) ескерсек:

немесе

Бұдан

шамасы тартылыс өрісінде орын ауыстыру бағытындағы потенциалдың бірлік ұзындыққа өзгеруін сипаттайды. Кез келген скалярлық физикалық шаманың бағыт бойынша өзгерісі градиент арқылы өрнектеледі:

Мұндағы,

7.3 Планеталардың қозғалысы. Кеплер заңдары. Ғарыштық жылдамдықтар.

Ғылым тарихындағы маңызды жаңалықтардың бірі Кеплердің планеталар Күнді эллипс бойымен айналатындығын тәжірибе жүзінде дәлелдеуі болып табылады. Кеплердің планеталардың қозғалыс заңдылықтарына берген эмпирикалық тұжырымдамасы механиканың заңдарымен бүкіләлемдік тартылыс теориясының негізін құрайды. Кеплер өзінің үш заңына төмендегідей тұжырымдады:

Кеплердің бірінші заңы: барлық планеталар бір фокусында Күн тұратын эллипстік орбитамен қозғалады.

7.2-сурет.

Кеплердің екінші заңы: планетаның радиус векторы тең уақыт аралықтарында тең аудандарды сызады:

7.3-сурет.

Кеплердің екінші заңы импульс моментінің сақталу заңының салдары болып табылады. Суреттен көрініп тұрғанындай, dt уақыты ішінде радиус-вектор сызып шыққан ds ауданы υdt үшбұрыш табанының осы үшбұрыштың l биіктігіне көбейтіндісінің жартысына тең болады (мұндағы l биіктігі тυ планета импульсының Күнге қатысты алынған иінімен дәл келеді):

L — планета импульсының моменті, ол мәніне тең.

өрнегі секторлық жылдамдық дсп аталады. Сонымен, секторлық жылдамдық

Күштердің центрлік өрісіндегі импульс моменті тұрақты болып қалады, демек, планетаның секторлық жылдамдығы да тұрақты болып қалу керек. Бұл радиус- вектор тең уақыттар аралығында бірдей аудандар сызып шығады деген сөз.

Кеплердің үшінші заңы: планеталардың Күнді айналу периодтарының квадраттарының қатынастары олардың эллипстік орбиталарының үлкен жарты осьтерінің кубтарының қатынастарындай болады.

Егер бір планетаның орбитасының үлкен жарты осімен Күнді айналу периодын арқылы, екінші планетанікін арқылы, белгілесек, Кеплердің үшінші заңы төмендегідей қатынастармен өрнектеледі:

7.4 Ғарыштық жылдамдықтар.

Бірінші ғарыштық жылдамдық дегеніміз горизонталь лақтырылған дененің Жерді, оның бетіне жақынырақ қашықтықта шеңбер бойымен айнала қозғалатын жылдамдық.

жылдамдық - атмосфералық кедергі жоқ кезіндегі және тек тартылыс күші әсерінен Жерді дөңгелек орбита бойымен айнала қозғалатын Жердің жасанды серігінің жылдамдығына тең. Егер m - дене массасы, r - орбитаның радиусы болса, онда Ньютонның екінші заңы бойынша,

Бұдан

немесе

мұндағы – Жер массасы.

Бірінші ғарыштық жылдамдық, мынаған тең: =7,9 км/с.

Екінші ғарыштық жылдамдық деп, ол көмекші күштердің әсерінсіз Жердің тартылыс күшін жеңіп Күннің жасанды серігіне айналу үшін денеге берілетін ең аз жылдамдықты айтады.

Бұл жылдамдықты параболалық жылдамдық дейді, өйткені ол атмосфера кедергісі әсер етпеген кездегі дененің Жерге тартылу өрісіндегі параболалық траекториясына сәйкес келеді. Механикалық энергияның сақталу заңы бойынша жылдамдықты табайық:

Жер бетінен үлкен қашықтықта потенциалдық және кинетикалық энергиялар нөлге тең, сондықтан

мұндағы – Жер центрінен серіктің ұшырылған орнына дейінгі арақашықтық. Бұдан, мынаны аламыз:

Жер бетінен ұшырғандағы екінші ғарыштық жылдамдық -қа тең.

Үшінші ғарыштық жылдамдық деп, ол көмекші күштердің әсерінсіз Жердің және Күннің тартылыс күштерін жеңіп Күн жүйесінен шығып кету үшін денеге берілетін ең аз жылдамдықты айтады.

мұндағы – Күн массасы, – Жер орбитасының радиусы. Бұдан зымранның Күнге қатысты талап етілген жылдамдығы

Зымран Күнді Жермен бірге орбита бойымен айнала қозғалғандықтан оның жылдамдығын Ньютонның екінші заңымен анықтауға болады:

Бұдан

Зымранды Жердің Күнді өз орбитасымен айналу жылдамдығы векторы бағытында қусақ, онда оның Күн жүйесінен шығу үшін қажетті Жерге қатысты ғарыштық жылдамдығы мынаған тең болу керек:

Зымран Жердің тарту күшін жеңу үшін оған екінші ғарыштық жылдамдық беру қажет:

Осыларды ескерсек Зымран Күн жүйесінен шығып кету үшін оған беретін Т кинетикалық энергия Жердің тарту өрісінен шығып кетуге қажетті Т₂ кинетикалық энергия мен Жер орбитасынан Күннің тартылыс өрісінен шығып кетуге қажетті Т_RZ кинетикалық энергияның қосындысынан тұрады:

Бұдан

немесе

Жер бетінен ұшырғандағы үшінші ғарыштық жылдамдық -қа тең.

7.4-сурет.